Paradoxon
Russells Paradox
Enthält sich die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten?
Frege hatte sein Lebenswerk dem Versuch gewidmet, die Arithmetik restlos aus reiner Logik abzuleiten – und im Zentrum stand die scheinbar harmlose Annahme, dass zu jeder denkbaren Eigenschaft eine Menge derjenigen Dinge existiere, die sie erfüllen. Russell prüfte 1901 die Eigenschaft „sich nicht selbst zu enthalten“ und bildete die Menge R aller Mengen, die nicht Element ihrer selbst sind. Nun stellt sich die tödliche Frage: Enthält R sich selbst? Gehört R zu sich, so erfüllt es per Definition gerade nicht das Aufnahmekriterium und darf nicht dazugehören; gehört es nicht zu sich, so erfüllt es genau die Bedingung und muss dazugehören. Beide Antworten widerlegen sich, und die Falle liegt nicht in einem Rechenfehler, sondern im Begriff der Menge selbst: Die uneingeschränkte Erlaubnis, jede Eigenschaft zu einer Gesamtheit zu bündeln, erzeugt einen formalen Widerspruch im Fundament der Mathematik.
Die maßgeblichen Positionen
Typentheorie
Bertrand Russell →Mengen und ihre Elemente gehören verschiedenen Stufen an, sodass die Frage „enthält R sich selbst?“ gar nicht erst sinnvoll gestellt werden kann.
Russell selbst entschärfte das Paradox in den „Principia Mathematica“ (1910–1913), indem er die Gegenstände in eine Hierarchie von Typen ordnete: Individuen, Mengen von Individuen, Mengen solcher Mengen und so fort. Eine Menge darf nur Elemente eines niedrigeren Typs enthalten, weshalb Selbstanwendung schon grammatisch verboten ist und R nie gebildet wird. Der Preis ist eine schwerfällige, mit Zusatzaxiomen (Reduzibilität, Unendlichkeit) erkaufte Architektur, die viele als künstlich empfanden.
Axiomatische Mengenlehre (ZFC)
Nicht jede Eigenschaft erzeugt eine Menge; Mengen entstehen nur durch ausdrücklich erlaubte Bildungsschritte aus bereits vorhandenen Mengen.
Ernst Zermelo ersetzte 1908 das uneingeschränkte Komprehensionsprinzip durch das Aussonderungsaxiom: Eine Eigenschaft grenzt nur innerhalb einer schon gegebenen Menge eine Teilmenge ab, statt aus dem Nichts eine neue Gesamtheit zu stiften. Russells R lässt sich so nicht mehr bilden, und mit dem späteren Fundierungsaxiom wird Selbstenthaltung überhaupt ausgeschlossen. Dieses von Zermelo und Fraenkel ausgebaute System wurde zum Standardfundament der Mathematik, doch es löst das Paradox nicht durch Einsicht in dessen Wesen, sondern durch eine pragmatische Verbotsliste, deren Widerspruchsfreiheit selbst unbewiesen bleibt.
Logizismus und sein Scheitern
Gottlob Frege →Der Versuch, die Arithmetik allein auf logische Gesetze zu gründen, scheitert genau an der Stelle, an der die Logik selbst Mengen erzeugt.
Freges „Grundgesetze der Arithmetik“ beruhten auf dem berüchtigten Grundgesetz V, das jeder Begriffsextension eine eigene Gegenstandsexistenz zusprach – und genau dieses Gesetz brach unter Russells Brief 1902 zusammen. Frege gestand im Nachwort ein, dass damit das Fundament seines Werks erschüttert sei, und fand keine tragfähige Reparatur. Sein Scheitern zeigte, dass Logik und Mengenlehre nicht so nahtlos eins sind, wie der Logizismus erhofft hatte.
Formalismus und das Konsistenzproblem
David Hilbert →Antinomien lassen sich bannen, wenn man die Mathematik als formales Spiel begreift und ihre Widerspruchsfreiheit mit finiten Mitteln beweist.
Hilbert antwortete auf die Grundlagenkrise mit dem Programm, die gesamte Mathematik zu axiomatisieren und ihre Konsistenz durch einen rein endlichen Metabeweis zu sichern – das Paradox sollte ein für alle Mal als unmöglich erwiesen werden. Gödels Unvollständigkeitssätze (1931) zeigten jedoch, dass kein hinreichend starkes System seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann, womit Hilberts ursprünglicher Anspruch unerreichbar wurde. Der Formalismus prägte dennoch die moderne Beweistheorie und das Selbstverständnis der Mathematik nachhaltig.
Warum es offen bleibt
Russells Paradox ist im technischen Sinne gebannt – ZFC und die Typentheorie vermeiden den Widerspruch –, doch keine dieser Lösungen erklärt, warum die naive, intuitiv so überzeugende Idee der Menge falsch ist; sie verbieten lediglich die fatalen Bildungen. Gödel zeigte überdies, dass die Widerspruchsfreiheit dieser Fundamente selbst unbeweisbar bleibt, sodass wir auf ihnen bauen, ohne ihre Standfestigkeit von innen verbürgen zu können. Was eine „Gesamtheit“ eigentlich ist und ob das selbstbezügliche Denken, das die Antinomie speist, je restlos zu domestizieren ist, bleibt eine offene philosophische Frage.
Denker, die an dieser Frage rangen
Lust, selbst zu streiten? Diskutier die Frage im Live-Gespräch mit einem der Denker.