Selbstbezug und die Russellsche Antinomie
Der Barbier von Sevilla
Ein Dorfbarbier rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren – und nur diese. Rasiert er sich selbst? Die volkstümliche Gestalt jenes Widerspruchs, mit dem Russell 1902 Freges Lebenswerk erschütterte.
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Bertrand Russell
Stellen wir uns den Barbier vor: Rasiert er sich selbst, so gehört er zu denen, die sich selbst rasieren – also darf er es nach seiner Regel nicht. Rasiert er sich nicht, so gehört er zu denen, die er rasieren muss. Beides ist unmöglich. Genauso die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten: Sie enthält sich genau dann, wenn sie sich nicht enthält.
Gottlob Frege
Ich erinnere mich an Ihren Brief – kaum etwas Unerwünschteres kann einem Schriftsteller begegnen, als dass nach Vollendung des Werkes ein Grundstein wankt. Ihre Antinomie trifft mein Grundgesetz V, das zu jedem Begriff seinen Umfang als Gegenstand bildet. Der Barbier ist nur das heitere Gewand einer ernsten Katastrophe.
Bertrand Russell
Der Schuldige ist der ungezügelte Selbstbezug. Mein Ausweg ist die Typentheorie: Dinge stehen auf Stufen, und „x ist Element von x“ wird gar nicht erst bildbar. Der Barbier, der über sich selbst Buch führt, verletzt die Ordnung der Stufen – also gibt es ihn nicht.
Gottlob Frege
Eine Hierarchie, gewiss – aber um welchen Preis? Ihr verzweigtes System braucht das Reduzibilitätsaxiom, eine Annahme, die kaum noch nach reiner Logik aussieht. Sie verbieten den Widerspruch per Dekret. Heilt das die Wunde, oder verbindet es sie nur?
Bertrand Russell
Vielleicht ein Verband – aber einer, der hält. Und bedenken Sie: Der Barbier existiert eben einfach nicht; die Annahme war widersprüchlich. Manche Begriffe haben keinen Gegenstand. Genau das übersah Ihr Grundgesetz, als es jedem Begriff bedenkenlos einen Umfang gab.
Gottlob Frege
Und doch: Dass es den Barbier nicht gibt, heißt nicht, dass es die Zahlen nicht gibt. Ein einstürzender Pfeiler widerlegt nicht, dass Häuser aus Stein sind. Vielleicht war mein fünftes Gesetz zu großzügig – nicht aber der Gedanke, dass Logik von objektiven Gegenständen handelt.
Bertrand Russell
Darin sind wir Verbündete. Wir wollten beide die Mathematik aus der Logik gewinnen – und stießen gemeinsam auf den Abgrund des Selbstbezugs. Was uns scheiterte, machte ihn sichtbar.
Gottlob Frege
Ein bitterer Trost: Der Barbier hat uns gelehrt, dass die Sprache über sich selbst stolpern kann. Wer hätte geahnt, dass dieser Stolperstein einmal das tiefste Theorem der Logik tragen würde?
Fazit
Die heitere Geschichte birgt den Ernst: Russells Antinomie beendete Freges Logizismus, gebar die Typentheorie und führte zur axiomatischen Mengenlehre (ZFC) mit ihrem Aussonderungsaxiom statt unbeschränkter Umfangsbildung. Der Selbstbezug, hier als Scherz, wurde zum Herzstück von Gödels Unvollständigkeitssätzen – und damit zur tiefsten Einsicht der modernen Logik.