Entdeckung vs. Erfindung
Was ist Mathematik?
Findet der Mathematiker eine Wahrheit vor, die unabhängig von ihm besteht – oder erfindet er sie, indem er Regeln festlegt? Gödel, der Platonist, und Wittgenstein, der Denker der Praxis, könnten ferner nicht stehen.
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Kurt Gödel
Mathematik wird entdeckt, nicht erfunden. Mengen und Zahlen bestehen unabhängig von uns; wir erfassen sie durch eine Art mathematischer Anschauung, ähnlich wie die Sinne die Körper erfassen. Dass uns Wahrheiten widerstehen, die wir nicht herbeiwünschen können, ist das Zeichen einer eigenen Wirklichkeit.
Ludwig Wittgenstein
Es gibt keinen mathematischen Himmel, in den man blickt. Ein Beweis entdeckt keine vorgefundene Tatsache – er schafft eine neue Regel, ein neues Paradigma. Die Mathematik ist ein buntes Gemisch von Beweistechniken, verwurzelt in unseren Praktiken und Lebensformen. Der Mathematiker ist Erfinder, nicht Entdecker.
Kurt Gödel
Wäre sie bloß Erfindung – warum können wir dann nicht beschließen, dass 2 + 2 = 5? Der Widerstand, auf den wir stoßen, kommt nicht von uns. Und mein Unvollständigkeitssatz zeigt: In jedem hinreichend reichen System gibt es einen Satz, der wahr ist und doch unbeweisbar. Die Wahrheit reicht weiter als unsere Konstruktionen.
Ludwig Wittgenstein
Der Widerstand ist die Grammatik unserer Regeln, nicht ein Blick auf Gegenstände. „Der Regel folgen“ ist eine Praxis – darum können wir nicht willkürlich 2 + 2 = 5 setzen. Und Ihr „wahr, aber unbeweisbar“: Sie schmuggeln einen platonischen Begriff von Wahrheit ein. „Wahr“ heißt hier nur: nach gewissen Regeln anzuerkennen.
Kurt Gödel
Aber gerade das trennt mein Theorem: Beweisbarkeit ist relativ zum System, Wahrheit nicht. Wer beide gleichsetzt, übersieht den schärfsten Befund der Logik. Dass wir den unentscheidbaren Satz dennoch als wahr erkennen, beweist eine Einsicht jenseits jedes Kalküls.
Ludwig Wittgenstein
Oder es zeigt nur, dass wir das System erweitern und eine neue Regel annehmen, die wir „wahr“ nennen. Ihre interessanten Berechnungen bestreite ich nicht – wohl aber die Geschichte, die Sie ihnen anhängen. Philosophie soll die Verhexung lösen, nicht eine neue Mythologie der Gegenstände stiften.
Kurt Gödel
Mythologie? Die Mathematik ist die exakteste aller Wissenschaften – und doch handelt sie von nichts Sinnlichem. Entweder ist sie zu groß für den menschlichen Geist, oder der Geist ist mehr als eine Maschine. Beides spricht gegen die bloße Erfindung.
Ludwig Wittgenstein
Vielleicht ist sie weder Himmel noch Maschine, sondern das, was wir tun, wenn wir zählen, messen, beweisen. Sehen Sie auf den Gebrauch – und das Rätsel der mathematischen Gegenstände löst sich auf, statt gelöst zu werden.
Fazit
Platonismus gegen Konstruktivismus – die tiefste Kluft der Mathematikphilosophie. Wird Mathematik entdeckt oder erfunden? Gödels Unvollständigkeit nährt beide Lager, und Wittgensteins Bemerkungen über Gödel werden bis heute heftig diskutiert. Zwischen den Polen liegen Formalismus, Intuitionismus und Strukturalismus.