Hilbert-Programm & Unvollständigkeit
Lässt sich die Mathematik vollständig sichern?
In den 1920er Jahren verkündet David Hilbert sein Programm: Die gesamte Mathematik soll auf ein widerspruchsfreies, vollständiges Axiomensystem gestellt und ihre Konsistenz mit endlichen, finiten Mitteln bewiesen werden. 1930/31 zeigt der junge Kurt Gödel mit seinen Unvollständigkeitssätzen, dass dieses Ziel in dieser Form unerreichbar ist. Das folgende fiktive Streitgespräch lässt beide aufeinandertreffen.
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David Hilbert
Die Mathematik ist kein Spiel des Beliebigen, sondern die eine Wissenschaft, die ihre eigene Sicherheit garantieren kann. Mein Ziel ist klar: Wir formalisieren die Analysis, die Mengenlehre, die ganze Arithmetik in einem Kalkül mit explizit aufgeschriebenen Axiomen und Schlussregeln. Dann beweisen wir mit rein finiten, anschaulich kontrollierbaren Mitteln - mit dem Hantieren an endlichen Zeichenreihen, ohne jede Berufung auf das aktual Unendliche -, dass dieser Kalkül niemals einen Widerspruch ableitet. Ist das geleistet, so ist das 'ignorabimus' aus der Mathematik verbannt. Wir müssen wissen, wir werden wissen.
Kurt Gödel
Ihren Wunsch nach absoluter Strenge teile ich vollständig, Herr Geheimrat - gerade deshalb habe ich Ihren Formalismus ernst genommen und ihn bis zum Ende durchgerechnet. Aber genau diese Strenge zwingt mich zu einem Ergebnis, das Sie nicht erfreuen wird. Nehmen Sie ein widerspruchsfreies formales System, das stark genug ist, die elementare Zahlentheorie zu umfassen - etwa die Principia oder Ihre Axiome der Arithmetik. In jedem solchen System lässt sich ein arithmetischer Satz konstruieren, der wahr, aber innerhalb des Systems weder beweisbar noch widerlegbar ist. Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zugleich sind für die reiche Mathematik nicht zu haben.
David Hilbert
Ein unentscheidbarer Satz - aber wie kommen Sie an ihn heran? Sie reden von einem Satz, der von sich selbst behauptet, unbeweisbar zu sein. Das riecht nach den alten Paradoxien des Lügners, nach Richard und Epimenides, die ich gerade durch die saubere Trennung von Mathematik und Metamathematik gebannt zu haben glaubte. Innerhalb des Kalküls dürfen Zeichen nichts 'bedeuten'; sie sind Figuren. Ihr selbstbezüglicher Satz schmuggelt doch wieder inhaltliche Bedeutung in die Formel hinein.
Kurt Gödel
Kein Schmuggel - eine Buchführung. Ich ordne jedem Zeichen, jeder Formel, jedem Beweis Ihres Kalküls eine natürliche Zahl zu, meine Gödelnummer. Dadurch wird 'F ist im System beweisbar' selbst zu einer rein arithmetischen Beziehung zwischen Zahlen, ausdrückbar mit Ihren eigenen finiten Mitteln. Die Metamathematik, die Sie sorgfältig von der Mathematik trennten, wird über die Arithmetisierung in die Mathematik hinein abgebildet. Der Diagonalsatz ist dann keine Bedeutungsschmuggelei, sondern eine korrekte Formel über Zahlen, die zufällig - beweisbar - mit ihrer eigenen Unbeweisbarkeit zusammenfällt. Der Lügner führt in den Widerspruch; mein Satz führt nur in die Unentscheidbarkeit. Das ist der ganze Unterschied.
David Hilbert
Gut, ich gebe zu: Vollständigkeit im naiven Sinn war vielleicht zu viel verlangt. Was man nicht entscheiden kann, kann man als neues Axiom hinzunehmen - Sie selbst zeigen das ja mit dem Auswahlaxiom und der Kontinuumshypothese. Aber das Herz meines Programms ist nicht die Vollständigkeit, sondern die Widerspruchsfreiheit. Geben Sie mir den finiten Konsistenzbeweis der Arithmetik, und ich bin zufrieden. Solange ich weiß, dass mein Kalkül niemals 0 = 1 produziert, darf das Unendliche als nützliche ideale Fiktion bleiben.
Kurt Gödel
Hier muss ich Ihnen den härteren Schlag versetzen, und es schmerzt mich, ihn zu führen. Mein zweiter Satz besagt: Genau die Formel, die die Widerspruchsfreiheit des Systems ausdrückt - 'Con', die Aussage, dass nicht jeder Satz beweisbar ist -, ist im System selbst nicht beweisbar, sofern das System widerspruchsfrei ist. Ein hinreichend starkes System kann seine eigene Konsistenz nicht zertifizieren. Da Ihre finiten Methoden sich in der Arithmetik formalisieren lassen, kann kein finiter Beweis die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik leisten. Das Programm scheitert nicht an einem Detail, sondern an seinem Kern.
David Hilbert
Dann ist die Frage, was 'finit' heißen darf. Ich habe nie behauptet, alle zulässigen Methoden seien schon aufgezählt. Mein Schüler Gentzen wird die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik beweisen - mit einer transfiniten Induktion bis zur Ordinalzahl Epsilon-null. Das ist konstruktiv, anschaulich kontrolliert, und liegt doch jenseits der Mittel, die in der Arithmetik selbst formalisierbar sind. Der Geist, der das System überblickt, steht höher als das System. Mein Programm ist nicht tot - es ist nur bescheidener geworden und muss die Grenze des Finiten neu ziehen.
Kurt Gödel
Und genau dieser Schritt versöhnt uns mehr, als es zunächst scheint. Dass der überblickende Verstand mehr sieht, als jeder feste Kalkül beweisen kann, ist mir der wertvollste Ertrag meiner Sätze - ich bin kein Formalist, sondern halte die mathematischen Objekte für ebenso real wie die Sinnesdinge. Meine Theoreme widerlegen nicht die Wahrheit der Mathematik, nur die Hoffnung, sie ein für alle Mal in ein einziges endliches System einzuschließen. Sichern lässt sie sich - aber nur, indem wir immer wieder über jedes erreichte System hinausschreiten. Es gibt kein letztes Axiomensystem; es gibt nur den nie endenden Aufstieg.
Fazit
Gödels Sätze beendeten Hilberts Programm in seiner ursprünglichen, absoluten Form, ohne die Mathematik selbst zu erschüttern. Gerhard Gentzen lieferte 1936 tatsächlich einen Widerspruchsfreiheitsbeweis der Arithmetik mittels transfiniter Induktion bis Epsilon-null und rettete damit den finiten Grundgedanken in abgewandelter Gestalt. Aus dem gescheiterten Sicherungsversuch erwuchs die moderne Beweistheorie und Berechenbarkeitslehre - die Grenze des Formalisierbaren wurde selbst zum fruchtbarsten Gegenstand der Grundlagenforschung.